a) porqué

Es un sustantivo masculino que equivale a causa,

motivo, razón, 

y se escribe con tilde

por ser palabra aguda terminada en vocal. 

Puesto que se trata de un sustantivo,

se usa normalmente precedido de artículo u otro determinante:

No comprendo el porqué de tu actitud [= la razón de tu actitud].

Todo tiene su porqué [= su causa o su motivo].

Como otros sustantivos,

tiene plural:

Hay que averiguar los porqués de este cambio de actitud.

b) por qué

Se trata de la secuencia formada por la preposición por 

y el interrogativo o exclamativo qué 

(palabra tónica que se escribe con tilde diacrítica

para distinguirla del relativo y de la conjunción que). 

Introduce oraciones interrogativas y exclamativas directas e indirectas:

¿Por qué no viniste ayer a la fiesta?

No comprendo por qué te pones así.

¡Por qué calles más bonitas pasamos!

Obsérvese que,

a diferencia del sustantivo porqué, 

la secuencia por qué no puede

sustituirse por términos

como razón, causa o motivo.

c) porque

Se trata de una conjunción átona,

razón por la que se escribe sin tilde.

Puede usarse con dos valores:

• Como conjunción causal,

• para introducir oraciones subordinadas que expresan causa,

• caso en que puede sustituirse por locuciones

• de valor asimismo causal

• como puesto que o ya que:

No fui a la fiesta porque no tenía ganas 

[= ya que no tenía ganas].

La ocupación no es total, porque quedan todavía plazas libres 

[= puesto que quedan todavía plazas libres].

También

se emplea como encabezamiento de las respuestas

a las preguntas introducidas por la secuencia por qué:

—¿Por qué no viniste? —Porque no tenía ganas.

Cuando tiene sentido causal,

es incorrecta

su escritura en dos palabras.

• Como conjunción final,

• seguida de un verbo en subjuntivo,

• con sentido equivalente a para que:

Hice cuanto pude porque no terminara así [= para que no terminara así].

En este caso,

se admite también la grafía en dos palabras

(pero se prefiere la escritura en una sola):

Hice cuanto pude por que no terminara así.

d) por que

Puede tratarse de una de las siguientes secuencias:          

• La preposición por + el pronombre relativo que.

• En este caso es más corriente usar el relativo con artículo antepuesto

• (el que, la que, etc.):

Este es el motivo por (el) que te llamé.            

Los premios por (los) que competían no resultaban muy atractivos.

No sabemos la verdadera razón por (la) que dijo eso.

• La preposición por + la conjunción subordinante que.

• Esta secuencia aparece en el caso

• de verbos, sustantivos o adjetivos

• que rigen un complemento introducido por la preposición por 

• y llevan además una oración subordinada introducida por la conjunción que:

Al final optaron por que no se presentase.

Están ansiosos por que empecemos a trabajar en el proyecto.

Nos confesó su preocupación por que los niños pudieran enfermar.